a) Xét đường tròn (J₁) có: ^HJ₁D = 2.^HMD (^HMD=1/2.Sđ(HD ). Tương tự: ^KJ₂D = 2.^KND

Dễ thấy tứ giác MEFN nội tiếp (Do ^MEN = ^MFN) => ^DMH = ^DNK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

Do đó: ^HJ₁D = ^KJ₂D. Mà các tam giác HJ₁D và KJ₂D cân tại J₁ và J₂ => ^J₂DK + 1/2.^HJ₁D = 90⁰

Hay ^J₂DK + ^HMD = 90⁰ => J₂D vuông góc EM. Có J₁H vuông góc EM => J₂D // J₁H

=> ^J₁DJ₂ = ^HJ₁D (So le trong) => ^HDK = ^J₁DJ₂ + ^J₁DH + ^J₂DK = ^HJ₁D + ^J₁DH + ^J₁HD = 180⁰

=> 3 điểm K,H,D thẳng hàng. Lại có: ^AHD = 1/2.Sđ(HD;  ^AKD = 1/2.Sđ(KD => ^AHD = ^AKD

Từ đó: ^AHK = ^AKH => \(\Delta\)HAK cân tại A => AH=AK

Gọi giao điểm của tia AD với (I₁) và (J₁) lần lượt là P' và Q'. Ta sẽ chứng minh P' trùng P; Q' trùng Q.

Theo hệ thức lượng trong đường tròn: AH² = AD.AQ' => AK² = AD.AQ' => \(\Delta\)ADK ~ \(\Delta\)AKQ' (c.g.c)

=> ^AKD = ^AQ'K = 1/2.Sđ(DK => Điểm Q' nằm trên (J₂) => Q' trùng Q (1)

Tương tự: AE.AM = AD.AP'; AE.AM = AF.AN => AF.AN = AD.AP' => \(\Delta\)ADF ~ \(\Delta\)ANP' (c.g.c)

=> ^ADF = ^ANP' => Tứ giác DFNP' nột tiếp => Điểm P' thuộc (DFN) hay P' thuộc (I₂) => P' trùng P (2)

Từ (1) và (2) => Tia AD đi qua 2 điểm P và Q hay 3 điểm D,P,Q thẳng hàng (đpcm).

b) Định trên đoạn thẳng EF một điểm T thỏa mãn \(\frac{ET}{FT}=\frac{HD}{KD}\)

Ta thấy ^GEA = ^GFA => ^GEH = ^GFK. Kết hợp với ^GHE = ^GKF => \(\Delta\)GEH ~ \(\Delta\)GFK (g.g)

=> \(\frac{GE}{GH}=\frac{GF}{GK}\). Lại có: ^EGF = ^EAF = ^HGK (Các góc nội tiếp) => \(\Delta\)GEF ~ \(\Delta\)GHK (c.g.c)

Do T và D định trên các cạnh EF, HK các tỉ số tương ứng bằng nhau nên \(\Delta\)GTF ~ \(\Delta\)GDK (c.g.c)

=> \(\frac{GT}{GD}=\frac{GF}{GK}\). Nhưng ^TGD = ^FGK (=^TGF - ^TGK) nên \(\Delta\)GTD ~ \(\Delta\)GFK (c.g.c) 

=> ^GDT = ^GKF. Mà ^GKF = ^GQD => ^GDT = ^GQD = 1/2.Sđ(GD => DT là tia tiếp tuyến của đường tròn (DGQ) (3)

Mặt khác:^GLE = ^GFE = ^GKH = ^GQH. Dễ thấy: \(\Delta\)LEF ~ \(\Delta\)QHK. Từ \(\frac{ET}{FT}=\frac{HD}{KD}\)=> \(\Delta\)ELT ~ \(\Delta\)HQD

=> ^ELT = ^HQD => ^ELT - ^GLE = ^HQD - ^GQH => ^GLT = ^GQD. Mà ^GQD = ^GDT (cmt) nên ^GLT = ^GDT 

Từ đó có: Tứ giác GDLT nội tiếp hay điểm T nằm trên đường tròn (DLG)   (4)

Qua (3) và (4) suy ra: Tiếp tuyến tại D của đường tròn (DGQ) cắt EF tại điểm T nằm trên đường tròn (DLG) (đpcm).

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.